Método de Solución Gaussiana

Métodos De Eliminación Gaussiana

El proceso de eliminación de Gaussisana o de Gauss, consiste en realizar transformaciones elementales en el sistema inicial (intercambio de filas, intercambio de columnas, multiplicación de filas o columnas por constantes, operaciones con filas o columnas, . . . ), destinadas a transformarlo en un sistema triangular superior, que resolveremos por remonte. Además, la matriz de partida tiene el mismo determinante que la matriz de llegada, cuyo determinante es el producto de los coeficientes diagonales de la matriz.

Uno de los problemas de la eliminación Gaussiana es que debemos dividir entre el pivote; si este es un número muy pequeño, entonces un error de redondeo puede arrojar serias dudas sobre la respuesta final. En forma general este método propone la eliminación progresiva de variables en el sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta esta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los valores de todas las variables.

Métodos de Eliminación Gussiana utilizando métodos NuméricosEn esta unidad examinaremos los aspectos numéricos que se presentan al resolver sistemas de ecuaciones, utilizando matrices que permiten utilizar algoritmos para resolver estos sistemas.

Métodos De Eliminación Gaussiana

El proceso de eliminación de Gaussisana o de Gauss, consiste en realizar transformaciones elementales en el sistema inicial (intercambio de filas, intercambio de columnas, multiplicación de filas o columnas por constantes, operaciones con filas o columnas, . . . ), destinadas a transformarlo en un sistema triangular superior, que resolveremos por remonte. Además, la matriz de partida tiene el mismo determinante que la matriz de llegada, cuyo determinante es el producto de los coeficientes diagonales de la matriz.Uno de los problemas de la eliminación Gaussiana es que debemos dividir entre el pivote; si este es un número muy pequeño, entonces un error de redondeo puede arrojar serias dudas sobre la respuesta final. En forma general este método propone la eliminación progresiva de variables en el sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta esta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los valores de todas las variables.Para un mayor entendimiento de este método veamos un ejemplo práctico de eliminación Gaussiana.

Método de Gauss-Jordan 

El proceso de eliminación de Gauss - Jordán consiste en realizar transformaciones elementales en el sistema inicial, destinadas a transformarlo en un sistema diagonal. El número de operaciones elementales de este método, es superior al del método de Gauss (alrededor de un 50% más).

Sin embargo, a la hora de resolver el sistema de llegada por remonte, el número de operaciones es menor, motivo por el cual, el método de Gauss -Jordán es un método computacionalmente bueno cuando tenemos que resolver varios sistemas con la misma matriz A y resolverlos simultáneamente, utilizando el algoritmo de Gauss-Jordán.

En base a lo anteriormente expuesto, solo haríamos un proceso de eliminación en la matriz y la resolución de un sistema con esta matriz es muy fácil. Un ejemplo en el que se suele usar Gauss - Jordán es en el cálculo de la matriz inversa, ya que calcular la inversa de A, es calcular N sistemas con la misma matriz. 

Para un mayor entendimiento de este método veamos un ejemplo practico del método de Gauss – Jordán.

Descomposición LU 

El método de Descomposición LU se basa en demostrar que una matriz A se puede factorizar como el producto de una matriz triangular inferior L con una matriz triangular superior U, donde en el paso de eliminación sólo se involucran operaciones sobre los coeficientes de la matriz, permitiendo así evaluar los términos independientes bi de manera eficiente.

La implementación del algoritmo de la Descomposición LU tiene sus variantes en cuanto a los valores iniciales de la diagonal que tomen las matrices L y U, es decir si los valores de la diagonal de la matriz L tiene números 1, formalmente esto se refiere a la Descomposición de Doolitle. Pero si los valores de la diagonal de la matriz U tiene números 1, formalmente esto se refiere a la Descomposición de Crout Para un mayor entendimiento de este método veamos un ejemplo prácticodel método de descomposición LU.

Factorización De Cholesky

Una matriz simétrica es aquella donde Aij = Aji para toda i y j, En otras palabras, [A] =[A] T. Tales sistemas ocurren comúnmente en problemas de ambos contextos: el matemático y el de ingeniería. Ellos ofrecen ventajas computacionales ya que sólo se necesita la mitad de almacenamiento y, en la mayoría de los casos, sólo se requiere la mitad del tiempo de cálculo para su solución. Al contrario de la Descomposición LU, no requiere de pivoteo. El método de Factorización de Cholesky se basa en demostrar que si una matriz A es simétrica y definida positiva en lugar de factorizarse como LU, puede ser factorizada como el producto de una matriz triangular inferior y la traspuesta de la matriz triangular inferior, es decir los factores triangulaes resultantes son la traspuesta de cada uno.

A = L . LT

Para un mayor entendimiento de este método veamos un ejemplo practico del método de Cholesky

Factorización de Cholesky.

Factorización de QR, Householder

Anteriormente analizamos la factorización LU de una matriz el cual conduce aun método muy eficiente para resolver un sistema lineal. Otro método de factorización de una A, llamada factorización QR de A. Esta factorización se usa ampliamente en los programas de computadora para determinar valores propios de una matriz, para resolver sistemas lineales y para determinar aproximaciones por mínimos cuadrados

En muchas aplicaciones el número de filas (M) de una matriz de coeficientes A mxn puede ser 3 al número de columnas (N). La Factorización QR consiste en descomponer la matriz Amxn en el producto de dos matrices:

 Una matriz Ortogonal: Qmxn ® QT

. Q = INxN 

 Una matriz Triangular Superior: U = RNxN 

Para encontrar las matrices Q y R se utiliza un método basado en Transformaciones Sucesivas de Householder.

Para un mayor entendimiento de este método veamos un ejemplo practico del método de factorización QR

Factorización QR

Solución De Sistemas Lineales Utilizando Métodos Iterativos Introducción

El método de Gauss y sus variantes son conocidos como métodos directos para resolver el problema inicial Ax = b. Se ejecutan a través de un número finito de pasos y generan una solución x que sería exacta sino fuera por los errores de redondeo. En contraste, un método iterativo da lugar a una sucesión de vectores que idealmente converge a la solución. El cálculo se detiene cuando se cuenta con una solución aproximada con cierto grado de precisión especificado de antemano o después de cierto número de iteraciones. Los métodos indirectos son casi siempre iterativos.

Un método iterado de resolución del sistema Ax = b es aquel que genera, a partir de un vector inicial x0, una sucesión de vectores x1, x2, . . . xn.. "Un método iterado se dirá que es consistente con el sistema Ax = b, si el límite x de la sucesión (xn), en caso de existir, es solución del sistema. Se dirá que el método es convergente si la sucesión generada por cualquiervector inicial x0 es convergente a la solución del sistema".Es evidente que si un método es convergente es consistente, sin embargo, el recíproco no es cierto.

Método De Gauss Seidel

El Método de Gauss Seidel emplea valores iniciales y después itera para obtener estimaciones refinadas de la solución; es particularmente adecuado para un gran número de ecuaciones, lo cual en cierto modo lo hace un método más comúnmente usado. La fórmula utilizada para hallar los xi viene dada por el despeje de cada una de las xi en cadauna de las ecuaciones y se les da un valor inicial a cada xi de cero.

Observase que en el método de Gauss-Seidel los valores actualizados de xi sustituyen de inmediato a los valores anteriores, mientras que en el método de Jacobi todas las componentes nuevas del vector se calculan antes de llevar a cabo la sustitución. Por contra, en el método de Gauss-Seidel los cálculos deben llevarse a cabo por orden, ya que el nuevo valor xi depende de los valores actualizados de x1, x2, ..., x i-1. 

La desventaja del método de Gauss-Seidel es que no siempre converge a la solución exacta o algunas veces los hace de manera muy lenta. Únicamente es confiable para aquellos sistemas dominantes diagonalmente.

Para un mayor entendimiento de este método veamos unejemplo practico del método de Gauss-Seidel.

Método de Jacobi

El Método de Jacobi transforma una matriz simétrica en una matriz diagonal al eliminar de forma simétrica los elementos que están fuera de la diagonal. Desafortunadamente, el método requiere un número infinito de operaciones, ya que la eliminación de cada elemento no cero a menudo crea un nuevo valor no cero en el elemento cero anterior. Si A es diagonalmente dominante, entonces la sucesión que resulta de la iteración de Jacobi converge a la solución de Ax = b para cualquier vector inicial Xo. Partimos de una aproximación inicial Xo para las soluciones Xi al sistema de ecuaciones y sustituimos estos valores en la ecuación: 

Que es la expresión que nos proporciona las nuevas componentes del vector x(k) en función de vector anterior x(k-1) en la iteración de Jacobi, en su respectivo algoritmo; donde el a el método de Jacobi más que usar el último valor disponible de , con base en un conjunto de las x anteriores (). De esta forma, como se generan nuevos valores, no se usan en forma inmediata sino que se retienen para la siguiente iteración.

Para un mayor entendimiento de este método veamos un ejemplo practico del método de Jacobi.

Código de Ética Profesional (artículos) Venezuela

Se considera contrario a la ética e incompatible con el digno ejercicio de la profesión, para un miembro  del Colegio de Ingenieros de Venezuela:

1ro. (virtudes): Actuar en cualquier forma que tienda a menoscabar el honor, la responsabilidad y aquellas virtudes de honestidad, integridad y veracidad que deben servir de base a un ejercicio cabal de la profesión.

2do. (ilegalidad): Violar o permitir que se violen las leyes, ordenanzas y reglamentaciones relacionadas con el cabal ejercicio profesional.

3ro. (conocimiento): Descuidar el mantenimiento y mejora de sus conocimientos técnicos, desmereciendo así la confianza que al ejercicio profesional concede la sociedad.

4to. (seriedad): Ofrecerse para el desempeño de especialidades y funciones para las cuales no tengan capacidad, preparación y experiencias razonables.

5to. (dispensa): Dispensar, por amistad, conveniencia o coacción, el cumplimiento de disposiciones obligatorias, cuando la misión de su cargo sea de hacerlas respetar y cumplir. 

6to. (remuneración): Ofrecer, solicitar o prestar servicios profesionales por remuneraciones inferiores a las establecidas como mínimas, por el Colegio de Ingeniero de Venezuela. 

7mo. (remuneración): Elaborar proyectos o preparar informes, con negligencia o ligereza manifiestas, o con criterio indebidamente optimista. 

8vo. (firma): Firmar inconsultamente planos elaborados por otros y hacerse responsable de proyectos o trabajos que no están bajo su inmediata dirección, revisión o supervisión. 

9no. (obras): Encargase de obras, sin que se hayan efectuado todos los estudios técnicos indispensables para su correcta ejecución, o cuando para la realización de las mismas se hayan señalado plazos incompatibles con la buena práctica profesional. 

10mo. (licitaciones): Concurrir deliberadamente o invitar, a licitaciones de Estudio y/o proyectos de obras. 

11vo. (influencia): Ofrecer, dar o recibir comisiones o remuneraciones indebidas y, solicitar influencias o usa de ellas para la obtención u otorgamiento de trabajos profesionales, o para crear situaciones de privilegio en su actuación. 

12do (ventajas): Usar de las ventajas inherentes a un cargo remunerado para competir con la práctica independiente de otros profesionales. 

13ro. (reputación): Atentar contra la reputación o los legítimos intereses de otros profesionales, o intentar atribuir injustificadamente la comisión de errores profesionales a otros colegas.

14to. (intereses): Adquirir intereses que, directa o indirectamente colindan con los de la empresa o cliente que emplea sus servicios o encargases sin conocimiento de los interesados de trabajos en los cuales existan intereses antagónicos. 

15to. (justicia): Contravenir deliberadamente a los principios de justicia y lealtad en sus relaciones con clientes, personal subalterno y obreros, de manera especial, con relación a estos últimos, en lo referente al mantenimiento de condiciones equitativas de trabajo y a su justa participación en las ganancias. 

16to (el ambiente): Intervenir directa o indirectamente en la destrucción de los recursos naturales u omitir la acción correspondiente para evitar la producción de hechos que contribuyen al deterioro ambiental. 

17mo. (extranjeros): Actuar en cualquier forma que permita o facilite la contratación con profesionales o empresas extranjeras, de estudios o proyectos, construcción, inspección y supervisión de obras, cuando a juicio del Colegio de Ingenieros, exista en Venezuela la capacidad para realizarlos. 

18vo. (autoría): Utilizar estudios, proyectos, planos, informes u otros documentos, que no sean el dominio público, sin la autorización de sus autores y/o propietarios. 

19no. (secreto): Revelar datos reservados de índole técnico, financiero o profesionales, así como divulgar sin la debida autorización, procedimientos, procesos o características de equipos protegido por patentes o contratos que establezcan las obligaciones de guardas de secreto profesional. Así como utilizar programas, discos, cintas u otros medios de información, que no sea de dominio público, sin la debida autorización de sus autores y/opropietarios, o utilizar sin autorización de códigos de acceso de otras personas, en provecho propio. 

20mo. (experimentación y servicios no necesarios): Someter a su cliente o a su empleador a la aplicación de materiales o métodos en experimentación, sin su previo y total conocimiento y aprobación o recomendarle servicios no necesarios. 

21ro. (publicidad indebida): Hacer o permitir cualquier publicidad no institucional, dirigida a atraer al público hacia la acción profesional, personal o participar en programas de televisión, radio u otros medios, que no tengan carácter divulgativo profesional, o que en cualquier forma, ateten contra la dignidad y seriedad de la profesión. Así como, valerse de posición para proferir declaraciones en los medios o hacer propaganda de materiales, equipos y tecnologías.

22do. (actuación gremial): Incumplir con lo dispuesto en las “Normas de Actuación Gremial del CIV”. 

La ética, la moral y la profesión en la ingenieria

Ética es el conjunto de normas morales que rigen la conducta humana. (Diccionario de la Real Academía Española, 22º Edición, 2010) Ética es el conocimiento de lo que está bien y lo que está mal en la conducta humana (Fagothet, 1991)

A todos se nos exige un comportamiento ético; es decir, todos debemos cumplir reglas para poder vivir en sociedad. La ética es una parte de la filosofía que trata de la moral y de las obligaciones del hombre. Durante siglos, el hombre ha batallado con los temas de lo que es correcto o incorrecto, la ética y la justicia. Sócrates postuló hace 25 siglos que la perfección humana estriba en el conocimiento del bien y del mal. Pero el concepto de la palabra bueno, que es el eje alrededor del cual gira la ética, ha sido muy discutido. Ello se explica por cuanto su significado está íntimamente relacionado con la cultura y la sociedad en la cual tenga aplicación.

Bueno, en forma general, significa cualquier acción o cualquier objeto que contribuya a la obtención de un fin deseable. La bondad ética tiene que ver con los actos que una persona ejecuta libremente y que lo beneficien a él o a otros. El fin deseable sería entonces alcanzar el bienestar, que involucra lo bueno; no obstante, el concepto de bien, de bueno, carece de aceptación unánime. ¿Puede encontrarse una definición de bien, de bueno que se identifique con lo que cada uno piensa que es el bien? ... ese es el quid que no ha resuelto la Ética.

La ética, la moral y la profesión

Villarini (1994) plantea que la ética de una profesión es un conjunto de normas, en términos de los cuales definimos como buenas o malas una práctica y relaciones profesionales. El bien se refiere a que la profesión reúne a una comunidad dirigida al logro de una cierta finalidad: la prestación de un servicio. La ética debe ser planificada y conciente. Debemos desarrollar al máximo el juicio profesional para activar el pensamiento ético, reconocer qué es lo correcto y lo incorrecto y contar con el compromiso personal para mantener el honor y el deber.

Todo trabajador debe desarrollar una ética profesionalque defina la lealtad que le debe a su trabajo, a la profesión, a la empresa y a los compañeros de labor.

Imperativos éticos profesionales

1. Competencia: Exige que la persona tenga los conocimientos, destrezas y actitudes para prestar un servicio. 

2. Servicio al cliente: La actividad profesional solo es buena en el sentido moral si se pone al servicio del cliente. 

3. Solidaridad: Las relaciones de respeto y colaboración que se establecen entre sus miembro

Factores que influyen en la toma de decisiones éticas

 1. Los valores individuales: La actitud, experiencias y conocimientos del individuo y de la cultura en la que se encuentra le ayudará a determinar qué es lo correcto o incorrecto de una acción. 

2. El comportamiento y los valores de otros: La influencia de personas importantes en la vida del individuo, tales como los padres, compañeros, maestros, supervisores, líderes políticos y religiosos, orientarán su comportamiento al tomar una decisión.

 3. El código de ética: Este código dirige el comportamiento ético del empleado. Sin él podría tomar decisiones antiéticas. 

Problemas de Índole Ético-moral 

En las organizaciones, en las relaciones cotidianas de unos individuos con otros surgen constantemente problemas de índole ético-moral, cuya solución no sólo afecta a la persona que los crea, sino también a otras personas que sufrirán las consecuencias. Algunos de estos problemas son:

1. Abuso de poder: Utilizar el puesto para "pisotear" a unos o para favorecer a otros. 

2. Conflicto de intereses: Emitir normas en el trabajo que redunden en su propio beneficio, como lo es participar en un reclutamiento cuando uno de los candidatos es miembro de su propia familia.

3. Nepotismo: Reclutar muchos miembros de una misma familia en una institución. 

4. Soborno: Aceptar dádivas u obsequios a cambio de dar un trato especial o favor a alguien como retribución por actos inherentes a sus funciones. 

5. Lealtad excesiva: Mentir para encubrir la conducta impropia del supervisor o hacer todo lo que este le diga, aun en contra de sus principios morales. 

6. Falta de dedicación y compromiso: Perder el tiempo, hacerse "de la vista larga" y no dar al máximo de su esfuerzo en el trabajo. 

7. Abuso de confianza: Tomar materiales de la institución para uso personal o hacer uso indebido de los recursos disponibles de la misma. 

8. Encubrimiento: Callar para no denunciar a un traidor, movido por amistad o por temor. 

9. Egoísmo: Buscar el bienestar propio en detrimento del beneficio de los demás. 

10. Incompetencia: Según el principio de Peter “ttodo empleado tiende a ascender hasta alcanzar su nivel de incompetencia”. En ese nivel se desempeñará chapuceramente, frustrando a sus compañeros y erosionando la eficiencia de la organización (Peter, 1977). 

Principios Éticos

Para evitar en gran medida los problemas de índole ético-moral que surgen en el ejercicio de la profesión, se deben poner en práctica principios que establezcan el comportamiento que una persona puede o no exhibir en determinado momento: 

1. Honestidad: Aprender a conocer sus debilidades y limitaciones y dedicarse a tratar de superarlas, solicitando el consejo de sus compañeros de mayor experiencia. 

2. Integridad: Defender sus creencias y valores, rechazando la hipocresía y la inescrupulosidad, y no adoptar ni defender la filosofía de que el fin justifica los medios, echando a un lado los principios.

 3. Compromiso: Mantener sus promesas y cumplir con sus obligaciones y no justificar un incumplimiento o rehuir una responsabilidad. 

4. Lealtad: Actuar honesta y sinceramente al ofrecer su apoyo, especialmente en la adversidad y rechazar las influencias indebidas y conflictos de interés. 

5. Ecuanimidad: Ser imparcial, justo y ofrecer trato igual a los demás. Mantener su mente abierta, aceptar cambios y admitir sus errores cuando entiende que se ha equivocado. 

6. Dedicación: Estar dispuesto a entregarse sin condición al cumplimiento del deber para con los demás, con atención, cortesía y servicio. 

7. Respeto: Demostrar respeto a la dignidad humana, la intimidad y el derecho a la libre determinación. 

8. Responsabilidad ciudadana: Respetar, obedecer las leyes y tener conciencia social. 

9. Excelencia: Ser diligentes, emprendedores y estar bien preparado para ejercer su labor con responsabilidad y eficacia. 

10. Ejemplo: Ser modelo de honestidad y moral ética al asumir responsabilidades y al defender la verdad ante todo. 

11. Conducta intachable: La confianza de otros descansa en el ejemplo de conducta moral y ética irreprochable.

La ética y el yo en la ingeniería

Yo profundo: 

Es el núcleo del ser humano, es la persona, el plano del ser, diferente al Yo superficial que se refiere a las cualidades de la personalidad, entre ellas, el estatus, los conocimientos, el inconsciente, el grado de inteligencia y el sentido de la belleza.

 El Yo profundo es lo que verdaderamente distingue a cada individuo, ya que no reside en lo que se cree ser y valer. 

El Yo superficial puede ser un Yo material, para quien el elemento central es el cuerpo, del cual unas partes están más relacionadas con la persona que otras. Pertenecen además a este Yo, los vestidos, la familia, el hogar, los logros, etcétera. También puede ser un Yo social, que es la forma como es considerada la persona en su medio. De esta forma, un hombre tiene tantas personalidades sociales como medios a los cuales pertenece.

 Es importante captar el Yo profundo por varias razones:

- Cuando una persona se enfoca en su Yo Profundo antes que los otros niveles de criterios de conducta humana (el criterio basado en el placer y los instintos, el criterio basado en la presión social, el criterio legal u otros), el horizonte axiológico o repertorio de valores se amplía, por lo que el individuo puede actuar en función de otros valores más profundos, elevados y comunitarios.

 - La captación del Yo Profundo crea un mayor sentido de responsabilidad al tener una conciencia más clara de su Yo, como sujeto y autor de su conducta.

 - Esta captación permite el descubrimiento de valores propiamente humanos, comunitarios y de validez universal. Con el uso del Yo Profundo, el valor moral de una persona puede quedar incrementado. 

Desde el punto de vista práctico es importante tomar la actitud adecuada para poder captar el Yo Profundo y, con ello, al conjunto de valores que allí están implicados.

Si cada persona está formada por el Yo profundo y el Yo superficial ¿Cómo es posible que actuemos siempre como el Yo superficial, siendo que el Yo profundo nos da una mayor realización humana? Nos dejamos llevar por el Yo superficial porque este lo podemos moldear como nos convenga ante la sociedad, dejando de lado a nuestro Yo profundo, la esencia real de lo que somos, sin darnos cuenta que poco a poco estamos alejándonos de nuestros valores humanos.

 Según Aristegui (2008) los códigos éticos son un proyecto normativo que cada Yo puede hacerlos efectivos o no. Si decide internalizar esos preceptos y convertirlos en un comportamiento concreto, en su Yo se expresará su Ética, la cual exhibirá en su convivencia con otras personas. Lo ético hay que verificarlo en la coexistencia de los seres humanos en sus sitios de congregación: comunidades, trabajos, ciudades, naciones.  En esas realidades se muestran las éticas del bien y las éticas del mal, nunca en estado puro, en tanto los seres humanos nunca son ni totalmente buenos, ni totalmente malos. 

Todas las virtudes y la expulsión de los vicios o transgresiones que correspondan a los Yoes, es lo que se denomina la Ética del Yo, puesto que desde ese basamento, surgen las personificaciones humanas que exigen a la vez sus éticas. Tal es el caso de los profesionales, un Yo tiene su ética, pero además debe anexarle la correspondiente a su condición de profesional (de la medicina, la ingeniería, la arquitectura, etcétera).